Magische Quadrate

Ein magisches Quadrat ist per Definition ein quadratisches Feld, in dem die Zahlen einer jeden Zeile, Spalte und Diagonalen immer die gleiche Summe ergeben.
Dabei darf jede Zahl nur einmal vorkommen und die Zahlen müssen, wenn sie der Größe nach aufgeschrieben werden, eine durchgehende Kolonne bilden, es dürfen also keine Zahlen fehlen.
Nun sind solche Aufgaben wohl eher für Mathematiker oder Rätselfreunde gedacht, als für Techniker. Die meisten Techniker, so auch ich, werden bei solchen Aufgaben sehr schnell zum Taschenrechner greifen müssen, um überhaupt noch voranzukommen.
Es gibt aber einen Aspekt, der es auch für Techniker interessant macht, sich näher mit diesen Quadraten auseinanderzusetzen. Der bekannte Freie Energie Forscher John Searl sagt selbst, dass er bei seinem Gerät dem SEG (Seal Effekt Generator oder auch Space Energy Generator) die Gesetze des Quadrats, wie er sie nennt, verwendet, um die einzelnen Bauteile aufeinander abzustimmen. Er geht sogar soweit, dass er sagt ohne dieses Wissen sei es überhaupt nicht möglich dieses Gerät in Gang zu bringen. Er vergleicht das Anordnen der Zahlen mit dem Ausrichten von Elektronen, wodurch es ihm sogar gelingt, unmagnetische Stoffe zu magnetisieren.

Noch einige weitere Feststellungen zur Definition:

Nehmen wir zunächst ein 3x3 Quadrat, das mit den Zahlen 1 bis 9 gefüllt ist. Versuchen sie einmal diese Zahlen so umzustellen, dass alle Summen gleich sind. Sie werden feststellen, das ist gar nicht so einfach.
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Die erste Frage, die sich dabei stellt ist die, auf welche Summe man denn überhaupt hinarbeiten soll. Um das zu beantworten, schreiben wir uns einmal alle vorkommenden Zahlen in einer Reihe auf.
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1+2+3=6
7+8+9=24
(6+24)/2=15

Wir wissen, dass es sich um ein 3x3 Quadrat handelt, also müssen immer 3 Zahlen eine Summe bilden. Wir halten zunächst nach der kleinsten möglichen Summe Ausschau. Diese wird aus 1+2+3=6 gebildet. Die größte mögliche Summe ist 7+8+9=24. Alle anderen Summen müssen sich zwischen diesen beiden Extremen bewegen. Wenn das Quadrat magisch wird, muss sich die Summe genau im Mittel dieser beiden Extreme einfinden. Wir berechnen also das Mittel (6+24)/2=15.
Die magische Zahl eines 3x3 Quadrates ist 15.
Die 15 kann man auch errechnen, wenn man alle Zahlen addiert und dann durch die Seitenlänge dividiert. Beim 3x3 Quadrat gilt also: (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/3=15.

Selbst mit diesem Wissen ist es nicht ganz leicht, die Zahlen richtig zu ordnen. Hier ist das korrekte 3x3 Quadrat mit allen Summen.
 
8
1
6
8+1+6=15
3
5
7
3+5+7=15
4
9
2
4+9+2=15
=15
=15
=15
8+5+2=15

Die beiden Extremwerte 1 und 9 stehen dabei niemals in der Mitte, noch in einer der Ecken, weil sonst die Summe jeweils zu groß oder zu klein sein würde. In der Mitte steht 5 als das genaue Mittel von 1 und 9, die zusammen mit ihren beiden Nachbarzahlen 4 und 6 in der Diagonalen ebenfalls 15 ergibt.

Bildungsgesetz

Daraus lässt sich ein Bildungsgesetz für, wie wir später sehen werden alle ungeraden Quadrate, ableiten: Man beginnt mit 1 in der Mitte der oberen Zeile und setzt dann im schräg nach rechts oben laufenden Sinn fort. Kommt man dabei aus dem Quadrat, dann schreibt man die Zahl jeweils auf der entgegengesetzten Seite auf. Stößt man auf ein bereits ausgefülltes Feld, dann springt man eine Zeile nach unten und setzt dann weiter mit schräg nach rechts fort.
 
 
9
nach unten
2
nach
unten
 7 
Zeile ist voll, Zeile darunter
8
1
6
8 nach links
3
5
7
3 nach links
4
9
2
 

Um das noch näher zu erläutern jetzt einmal ein 5x5 Quadrat.
Zunächst die magische Zahl: (1+2+3+4+5+21+22+23+24+25)/2=65
Das Quadrat ist mit dem Bildungsgesetz schnell gefüllt. Versuchen Sie das einmal ohne !
 
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
Man erkennt die Gesetzmäßigkeit: Die 1 ist wieder oben, die 25 unten in der Mitte. Die Diagonale enthält alle Nachbarn von 13, dem Mittel von 1 und 25

Und nur um zu beweisen, das es auch wirklich geht, nun das 7x7 Quadrat:
Die Magische Zahl: (1+2+3+4+5+6+7+43+44+45+46+47+48+49)/2=175
 
30
39
48
1
10
19
28
38
47
7
9
18
27
29
46
6
8
17
26
35
37
5
14
16
25
34
36
45
13
15
24
33
42
44
4
21
23
32
41
43
3
12
22
31
40
49
2
11
20

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