Widerstandswürfel

Das ist der Widerstandswürfel, mit dem die Elektrotechniklehrer ihre Schüler quälen. Denn wenn man denkt, man hat die Netzwerkberechnung einigermaßen begriffen, dann kommen sie mit diesem Problem, um uns wieder an den Anfang (vor das Nichts) zu stellen.
Jede Seite des dreidimensionalen Würfels besteht auf einem Widerstand. Gesucht ist der Gesamtwiderstand über die Raumdiagonale des Würfels, wenn alle Widerstände den gleichen Wert haben. Und als Draufgabe vielleicht auch noch die Stromverteilung in den einzelnen Widerständen.

Da es sich hier um eine Seite für Praktiker handelt, habe ich natürlich vor der Rechnung zum Lötkolben gegriffen, und den Würfel auf 12 100Ohm Widerständen zusammengelötet. Danach wurde das Messgerät mit den Leitungswiderständen auf Null geeicht (deshalb ist es im Relativmodus) und die Diagonalreaktanz (so nennen quälende Lehrer den Widerstandswert) mit 83.1 Ohm gemessen.
Da dieser Messung natürlich eine gewisse Ungenauigkeit zugrunde liegt, wird sich kein Lehrer damit zufrieden geben. Denn die wollen immer eine allgemeine Lösung. Deshalb lernt man wahrscheinlich auch nur allgemein bekannte Dinge in einer HTL. Warum hat kein Lehrer den Mut, einmal etwas über unkonventionelle Techniken zu erzählen. Wir wurden ja nicht einmal über die N-Maschine aufgeklärt, (obwohl sie eine Maschine aus der Urzeit der Elektrotechnik ist) aus Angst jemand könnte fragen, worauf denn das Gegendrehmoment wirken soll ?! (hätte in unserer Klasse sicher niemand gefragt)

Wie dem auch sei, auch eine Rechenaufgabe kann Spaß machen, wenn man auf das richtige Ergebnis kommt. Das haben wir ja schon in Form der Messung. Also können wir jetzt mit der Theorie beginnen.
Ein wesentlicher Teil dieser Aufgabe besteht in dem Zeichnen eines Schaltplanes. Es ist nicht ganz einfach, den dreidimensionalen Würfel in eine ebene Schaltung umzuwandeln. Hier wurde das durch einen nicht ganz elegant aussehenden Anschluss der  Spannungsversorgung gelöst. Für die Rechnung ist das aber egal.
Man darf hier nicht dem Irrtum verfallen, dass es sich hier um eine abgeglichene Brücke handelt, und einige Widerstände streichen. Das kann der Praktiker viel schneller herausfinden, indem er den Würfel auf der Diagonale mit Strom versorgt. Dann ist auf allen Widerständen ein Spannungsabfall zu messen. D.h. es sind auch alle Widerstände stromdurchflossen.

Wenn man in den Schaltplan alle Kreisströme eingezeichnet hat, kann man daraus die Maschengleichungen aufstellen. Die Stromaufteilung und Richtung sind dabei gar nicht so wichtig.

Aus diesen Gleichungen kann sich jeder nun nach seinem Lieblingsverfahren die unbekannten Ströme ausrechnen. Egal ob man substituiert, eliminiert oder irgend ein Spezialverfahren anwendet, die Lösung muss immer die gleiche sein. Wir haben das zeitsparend mit einer Matrix in dem Mathematikprogramm "Derive" gelöst. Dazu gibt es die Matrizen in einer Textdatei.

Für unsere 100 Ohm Widerstände kann sich nun jeder leicht den Diagonalwiderstand mit 83,33 Ohm ausrechnen. Dieser Wert stimmt eigentlich sehr gut mit der Messung überein, und bestätigt somit die Richtigkeit der Rechnung.
 

Die logische (einfachere) Lösung

Haben Sie sich die Finger schon wund gerechnet oder raucht Ihnen schon der Kopf ?
Dann sollten Sie jetzt einmal die Mathematik beiseite legen und auf den gesunden Hausverstand vertrauen. Der Praktiker kann sich dazu auch seinen zusammengelöteten Widerstandswürfel bereitlegen. Betrachten Sie den Würfeln einmal. Ist er nicht die Perfektion der Symmetrie schlechthin ? Bei so symmetrischen Verhältnissen muss es doch möglich sein, eine Vereinfachung durchzuführen.

Von den beiden Anschlusspunkten der Spannungsquelle gehen je drei Widerstände aus. Die Querverbindung über die Raumdiagonale besteht in jedem Zweig also immer genau aus 3 Widerständen. Jeweils zwei an den Anschlüssen und noch einem dritten dazwischen. Wie Sie den Weg auch gehen, solange Sie die Regeln der Elektrotechnik berücksichtigen, wonach der Strom nur vom höheren zum niedrigeren Potential und nicht zurück fließen kann, werden Sie keinen längeren Weg finden.
Ausgehend von dieser Betrachtungsweise lässt sich ein anderes, aber gleichwertiges Ersatzschaltbild zeichnen. Diese Schaltung lässt sich am leichtesten nachvollziehen, wenn Sie den Würfel auf eine Ecke stellen, so dass ein Anschluss oben und der andere unten liegt. Wenn Sie jetzt frontal auf den Würfel blicken und ihn so drehen, dass Sie die drei Eckwiderstände sehen können, die von den Anschlüssen ausgehen, ist es leicht das Schaltbild zu zeichnen.
Unter diesen symmetrischen Bedingungen ist es einsichtig, dass durch jeden der drei Widerstände an den Eckpunkten der gleiche Strom fließt. So summieren sich z.B. die Ströme der beiden äußeren Widerstände im mittleren der gegenüberliegenden Seite und umgekehrt für die andere Hälfte. Es liegt an den Eckpunkten also gleiches Potential an. Der Praktiker ist wieder aufgerufen seinen Würfel unter Strom zu setzen und das nachzumessen. Ergebnis: Zwischen den drei Punkten am inneren Ende der Eckwiderstände tritt keine Spannung auf !

Es ist daher gleichgültig, ob diese Punkte miteinander verbunden sind oder nicht, da dort nie ein Strom fließen kann. Der Praktiker kann das ausprobieren, indem er auf beiden Seiten an den Eckwiderständen drei Kurzschlussleitungen einlötet und somit die drei Eckwiderstände parallel schaltet. Es wird sich nichts am gemessenen Gesamtwiderstand ändern. Wenn wir also das wilde Gewirr von Leitungen vergessen, und einfach eine Querverbindung im Schaltplan einzeichnen, sieht die Sache schon ganz anders aus. Jetzt ähnelt die Aufgabe eher einem Rechenbeispiel aus der Hauptschulzeit oder ?

Also vergessen Sie die Maschengleichung und rechnen Sie es einfach im Kopf aus: 1/3 + 1/6 + 1/3 = 5/6 !
Wer hätte gedacht, dass es ein einer Minute im Kopf zu schaffen ist ?

Wir sehen, die Mathematik hindert uns am logischen Denken und Formeln können die Zusammenhänge nur beschreiben, keinesfalls aber erklären. Jeder der mit den Maschengleichungen gerechnet hat, vertraut blind auf die Formeln. Doch wenn er vorher etwas darüber nachgedacht hätte, sähe die Sache ganz anders aus. Erstens sollte man nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen und zweitens sollte man auf keinen Fall die Mathematik über die Kreativität des Geistes stellen ! 

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