Das Kondensator Problem

Kondensatoren sind uns schon so geläufig, dass niemand mehr nach Ungereimtheiten in ihnen sucht. Dass es aber anscheinend doch noch einige gibt, zeigen z.B. die Experimente zur Elektrogravitation von T.T.Brown.
Ein Problem ganz anderer und viel trivialerer Art entsteht aber, wenn ein Kondensator einen anderen auflädt. Dann geht nämlich auf mysteriöse Weise die halbe Energie verloren.

SchaltungDie einfache Versuchsanordnung zum Nachweis dieses Effektes ist hier dargestellt. Über ein 24V Netzgerät wird nach Schließen des Schalters T1 ein 470µF Elko aufgeladen. Ist er voll, wird T1 geöffnet. Das Messgerät muss jetzt 24V anzeigen. Jetzt wird T2 geschlossen und so ein zweiter, ungeladener 470µF Elko parallel geschaltet. Die Drossel verhindert einen zu hohen Stromanstieg und lässt die Energie langsam auspendeln. Wie das aussieht ist in den folgenden Oszillogrammen dargestellt.

SpannungsverlaufDieses Oszillogramm zeigt den Schwingungsverlauf der Spannungen an den beiden Kondensatoren. CH1 zeigt den voll geladenen Kondensator, CH2 den leeren. Es ist eine Frequenz von ca. 130Hz zu messen. Das entspricht jener Frequenz, die man aus 6mH und 235µF mit Hilfe der Resonanzformel errechnen kann. Die halbe Kapazität muss deshalb eingesetzt werden, weil für den Schwingkreisstrom beide Kondensatoren in Serie liegen, und sich somit die Gesamtkapazität halbiert.

Hier ist noch zusätzlich der Ausgleichsstrom in CH2 dargestellt. CH1 zeigt wieder die Spannung am leeren Kondensator. Die für einen LC-Schwingkreis charakteristische 90°-Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist gut zu erkennen.

Nach dem Ausgleichvorgang zeigt das Messgerät, als auch das Oszilloskop genau 12V an.
Hätten sie nicht etwas anderes erwartet ?
Es klingt zwar logisch, ist es aber nicht, wenn man die Formel für die Kondensatorenergie betrachtet.

Nach der Ladungsformel, auf der rechten Seite, ist alles in Ordnung. Wird die Ladung in zwei gleiche Teile geteilt, so ist auch die Spannung nur noch halb so groß.
Die Energieformel, auf der linken Seite, besagt aber, dass die Energie quadratisch mit der Spannung ansteigt. Wenn man also annimmt, dass keine Energie verloren geht und sie auf zwei gleich große Kondensatoren aufteilt, dürfte die Spannung nur um den Faktor SQRT(2) und nicht auf die Hälfte absinken.

Rechnet man für einen Kondensator die Energie bei 24V aus, so erhält man 135,36mWs. In zwei Kondensatoren mit der halben Spannung sind hingegen nur noch 67,68mWs gespeichert. Es fehlt also genau die Hälfte der ursprünglich zu Verfügung stehenden Energie. Wo ist diese Energie hingekommen ?
Bei der näheren Betrachtung dieses Problems werfen sich einige Fragen auf, auf die jetzt eingegangen wird.

Geht die Energie in den Kondensatoren verloren ?
Die auftretenden Energien sind leider zu gering, um eine Erwärmung feststellen zu können. Auch als der Versuch mit einem 3300µF Elko bei 60V und mit ungepoltem MP-Kondensator mit 16µF bei 500V durchgeführt wurde, konnte keine Erwärmung festgestellt werden.
Die Verwendung von Elkos ist hier übrigens zulässig. Denn wie aus den Oszillogrammen ersichtlich ist, erreicht die Spannung nie negative Werte. Denn nur bei diesen wird die Isolierschicht abgebaut und der Elko leitend.
Egal welche Kondensatoren verwendet werden, die Spannung sinkt in allen Fällen immer genau auf die Hälfte ab. Unterschiedliche Kondensatoren haben aber auch unterschiedliche Verluste. Daraus könnte man fälschlicherweise schlussfolgern, dass die Energie nicht in den Kondensatoren verloren geht.

Wird die Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung abgegeben ?
Das ist aufgrund der hier auftretenden Frequenzen nicht möglich. Um 130Hz wirkungsvoll abstrahlen zu können, ist eine Antenne von über 1000km Länge erforderlich. Selbst in gewickelten Elkos wird so eine Länge nie erreicht. Bei höheren Frequenzen, also bei einem Ausgleich mit geringer Induktivität, müsste dann auch der Effekt verstärkt auftreten, was er aber nicht tut.

Wird die Energie in der Drossel verbraucht ?
Hier wurde eine Luftspule mit 0,8mm dicken Draht verwendet wurde. Der Widerstand ist so gering, dass die ohmschen Verluste nur einige mWs betragen und magnetische Verluste gibt es in einer Luftspule auch keine.

Warum ist es gleich, welcher Widerstand in den Stromkreis gebracht wird ?
Sind die Kondensatoren genügend groß (sie dürfen sich während des Ausgleichsvorganges nicht selbst entladen), so wirken sich eingebaute Widerstände nur auf die Dauer des Ausgleichvorganges aus. Die Drossel kann dann sogar entfernt werden, ohne das Ergebnis zu beeinflussen.
Es ist problemlos möglich, einige Kiloohm einzubauen. Das dehnt den Ausgleichsvorgang zwar auf einige Minuten aus, verändert aber nicht das Endergebnis.
Das führt uns einen Schritt näher zu der Lösung. An einem Widerstand, durch den Strom fließt, muss Leistung umgesetzt werden. Um das besser zu verdeutlichen, folgt jetzt die Simulation der Schaltung.

Simulation - Erklärung

SimulationUm die Schaltung besser zu verstehen, wurde wieder eine Simulation mit PSpice Version 6.3 unter Windows 95 durchgeführt. Die Simulation beschreibt im Wesentlichen den gleichen Schaltungsaufbau. R1 stellt die gesamten Kreisverlust mit 1Ohm dar. Der Einschaltwiderstand von Schalter U2 wurde auf 1µOhm gesetzt, und kann vernachlässigt werden. Neu ist nur der Schalter U3. Er entlädt den Kondensator C2 sicher, und verhindert ein Aufladen, über die Isolationswiderstände der Schalter. Es kann hierfür leider nicht unendlich angegeben werden.

SimulationsergebnisDas Ergebnis zeigt ein sehr ähnliches Verhalten bezüglich Frequenz und Dämpfung der Schwingung. Im unteren Plot sind die Spannungen an den Kondensatoren und an R1 dargestellt. Der mittlere Plot zeigt den Strom durch R1. Aus den Verläufen von Strom und Spannung wurde im oberen Plot durch Aufintegration die umgesetzte Energie berechnet. Diese ist durch den Cursor ausgelesen. Es zeigt sich ein Energieumsatz von 67,68mWs an dem Widerstand. Das ist genau die fehlende Energiemenge !

Die Erkenntnis aus dieser Simulation ist, dass es sehr wohl möglich ist, an einem 1Ohm Widerstand die fehlende Energie umzusetzen. 1Ohm wird bei Aufbau dieser Schaltung leicht erreicht. Allein die Leitungswiderstände und der Drosselwiderstand reichen dazu aus. Auch die Kondensatoren besitzen Verlustwiderstände, womit man sicher 1Ohm erreicht. Der Grund, warum keine Erwärmung zu spüren ist, liegt einfach darin, dass die Leistung sehr geschickt auf alle Bauteile aufgeteilt wird.
Jetzt wird auch klar, warum es auch mit einem Widerstand und ohne Drossel funktioniert. Die halbe Energie geht immer am Widerstand verloren. Da kann man bei genügend großen Elkos auch die Erwärmung spüren. Der Grund warum es mit verschiedensten widerständen funktioniert ist der, weil eben ein großer Widerstand einen kleinen Strom über lange Zeit fließen lässt. Ein kleiner Widerstand verursacht einen großen Strom in kurzer Zeit. Die Integration über beide Verläufe ergibt aber immer denselben Wert.

Verlustfreie SimulationIn der Simulation ist es natürlich auch möglich, die Verluste so stark zu minimieren, dass sie sich in dem Berechnungszeitraum nicht mehr auswirken. Entfernt man R1, oder setzt ihn einfach auf 1µOhm, dann schwingt die Schaltung über den ganzen Plot mit konstanter Amplitude. Es wird immer ein Kondensator komplett entladen, während der andere auf 24V geladen wird. Die Energie pendelt also zwischen den beiden Kondensatoren hin und her. Dieser endlose Vorgang wird bei realen Bauteilen eben durch die Verluste sehr stark bedämpft. Erst wenn die halbe Energie vernichtet ist, stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein.

Der Effekt beim Umladen der Kondensatoren lässt sich auf einfache Weise veranschaulichen, indem man einen variablen Widerstand anstelle eines Fixwiderstandes verwendet. Man stelle sich vor, der Widerstandswert wird immer so eingestellt, dass zu jeder Zeit des Ausgleichsvorganges der gleiche Strom fließt. D.h. zu Beginn ist ein großer Wert eingestellt, der dann allmählich zu null hin abfällt. Im letzten Moment des Ausgleiches ist der Widerstand Null und danach kann kein Strom mehr fließen, er fällt sprunghaft ab, weil dann die Kondensatoren gleiche Spannung aufweisen. Durch diesen Trick haben Strom und Spannung leicht berechenbare Verläufe und für die Energie = U*I*t ist es egal, wie groß der aktuelle Widerstandswert ist.

Der Kondensator C1 sei zunächst auf die Spannung UC1=U0 geladen. Zum Zeitpunkt t=0 wird der Schalter geschlossen und Strom kann zum leeren Kondensator C2 fließen. Jetzt wird ständig mit R(t) nachgeregelt, so dass immer ein konstanter Strom fließt. Die Spannung UC2 wird dadurch im gleichen Maße linear ansteigen, wie die Spannung UC1 absinkt. Dieser Vorgang ist erst beendet, wenn beide Spannungen U0/2 erreicht haben.
Die Spannung UR hat während dieser Zeit den vollen Bereich von U0 bis Null durchlaufen. Zu Beginn stellt C2 ja einen Kurzschluss dar, wodurch die gesamte Spannung von C1 am Widerstand anliegt.
Die Energie, die der Widerstand in dieser Zeit umsetzt, errechnet sich demnach mit W=Uo*I*t1/2 und ist genau gleich wie die in C2 übertragene, oder die aus C1 abgezogene. D.h. ¼ der ursprünglichen Energie ist in je einem Kondensator und der Rest ist am Widerstand verloren gegangen.

Ladung selbst ist noch keine Energie erst ihre Bewegung von einem Kondensator zum anderen erzeugt Energie. Ein Ladungstransport ist immer mit einer Energieabgabe bzw. mit einem Energieaufwand verbunden ist. Dahinter steckt das Prinzip der Influenz, dass ja auch beim Kelvin Generator dazu führt, dass die Tropfen durch die elektrostatische Kraft am Hinunterfallen gehindert werden.

Also doch nichts mit einem Energieverlust in eine andere Dimension. Auch die Elektrogravitation scheint nichts mit diesem Effekt zu tun zu haben. Eben nur eine Laune der Natur, die nicht zulässt, dass dieser Vorgang ohne Energieverlust möglich ist. Warum aber genau die Hälfte ? Warum nicht nur 1/3 oder 1,414 ?
Noch dazu kann es in anderen Fällen durchaus möglich sein Energie verlustfrei aufzuteilen. Denken Sie nur einmal die gekoppelten Pendel, bei denen überhaupt keine Energie verloren geht.

Auch das Beispiel mit den zwei Gewichten, von denen eines tiefer hängt als das andere verursacht keinen Energieverlust. Lässt man das rechte Gewicht nach unten fallen, kann man damit das linke in die Höhe ziehen. Nachher ist die Energie aber genauso groß wie vorher. Die Höhe ist jetzt zwar nur noch halb so groß, dafür liegt aber die doppelte Masse auf dieser Höhe. Also kein Energieverlust ! (abgesehen von Verlusten an Umlenkrollen, Seilen o.ä.)
Eines fehlt den Gewichten aber schon: Sie werden diesen Ausgleich niemals von selbst herbeiführen. Dazu muss von außen eingegriffen werden, indem man an dem Seil zieht, also Energie zuführt und dann wieder abbremst ähnlich wie beim Kugelexperiment. Ob das mit dem bloßen Schließen des Schalters beim Kondensatorproblem vergleichbar ist, bleibt dahingestellt.
Warum sind die Ladungen nicht so gutmütig wie Gewichte, die sich ohne Energieverlust umschichten lassen ? Darin liegt das wirkliche Mysterium dieses Problems.

Mechanische Entsprechung

Über die Mechanik lässt sich auch eine leicht verständliche Erklärung für den elektrischen Fall finden. Denken wir uns den Kondensator als einen Plattenkondensator. Wenn ein solcher geladen ist, dann wirkt zwischen den beiden Platte eine Kraft, die von der Höhe der Spannung abhängig ist. Im Normalfall muss sich diese Kraft gegen den mechanischen Aufbau des Kondensators abstützen, damit sich die Platten nicht zueinander hin bewegen. Das Zuschalten eines zweiten, gleichartigen  Kondensators würde die Kapazität verdoppeln. Den gleichen Fall kann man jedoch auch erreichen, wenn man bei dem ursprünglichen Kondensator den Plattenabstand auf die Hälfte reduziert. Dazu muss man den Platten erlauben, sich entlang der wirkenden Anziehungskraft zu bewegen. Eine solche Bewegung setzt entsprechend Kraft mal Weg  Energie frei, die Platten beschleunigen also von selbst. Wenn sie dann den halben Abstand erreicht haben, muss man sie wieder einbremsen. Dabei ist es notwendig, die in den Platten gespeicherte Bewegungsenergie wieder abzuführen und z.B. durch Reibung in Wärme umzusetzen. Genau diese Energiemenge ist unser gesuchter Verlust, der dem elektrischen Feld entzogen wurde.

Eine andere Überlegung führt uns in die Elektrostatik. Man könnte ja einen Plattenkondensator nehmen und die Platten zuerst nur halb überdecken und so den Kondensator aufladen. Im geladenen Zustand schiebt man dann die Platten vollständig zusammen und hat so die doppelte Kapazität. Die Spannung muß sich dabei verringern, so wie auch bei den Versuchen mit dem Elektroskop gezeigt.
Nach der Formel U=Q/C muss sich hierbei die Spannung halbieren. Siehe da, es tritt das gleiche Problem auf. Die halbe Spannung liegt jetzt an der doppelten Kapazität an. Die Energie fällt aber quadratisch mit der Spannung nach der Formel W=C*U²/2, also fehlt auch hier die halbe Energie. Wo ist sie jetzt hingekommen ? Sie wurde zum Verschieben der Platten freigesetzt, da sich diese natürlich immer in größtmöglicher Deckung zueinander auszurichten versuchen. Das zeigt ganz deutlich, dass ein Kondensator seinen Namen zu recht trägt, er ist in der Lage Ladung bzw. Energie zu "kondensieren", also der direkten Nutzbarmachung zu entziehen.
Diesen Effekt könnte man jetzt natürlich auch umkehren, den Kondensator mit völlig überdeckten Platten laden und dann die Platten zur Hälfte parallel Verschieben. Die Kapazität sinkt auf die Hälfte und die Spannung steigt dadurch auf den doppelten Wert. Diesen Effekt nutzt auch schon die Influenzmaschine zur Erzeugung hoher Spannungen. Der Energieinhalt steigt aber quadratisch mit der Spannung und so ist nachher doppelt so viel Energie im Kondensator wie vorher. Das wäre eine weitere mögliche Erklärung für die Funktion der Testatika, wenn die Parallelverschiebung weniger Energie verbraucht als dadurch gewonnen wird.

Die Umkehrung des Effekts, endlich auch mal ein Gewinn

Wir haben also festgestellt, dass ein Gleichbleiben der Ladung in dem System einen Energieverlust bedingt. Doch was passiert, wenn wir es schaffen, die Energie verlustfrei auf beide Kondensatoren aufzuteilen ?
Das ist gar nicht so schwer wie es vielleicht aussieht, wir benötigen dazu nur ein aktives Bauteil. In diesem Fall ist das der gesteuerte Wechselschalter S1. Wir nehmen wieder an, C1 ist auf U1 geladen, S1 ist in der Mittelstellung und C2 ist leer. Der Schalter S1 wird jetzt in die linke Position gebracht. Dadurch steigt der Strom durch die Speicherdrossel L1 langsam an, sie nimmt also Energie aus dem Kondensator C1 auf. Genau dann, wenn die halbe Energie in der Drossel ist, oder anders gesagt, wenn U1 um den Faktor SQRT(2) abgesunken ist, wird der Schalter in die rechte Position umgelegt. Das muss für die Überlegung natürlich in unendlicher kurzer Zeit passieren, sonst kommt es zu einer Spannungsspitze an der geladenen Drossel. In der Praxis löst man so ein Problem mit einer Freilaufdiode. Die Drossel wird jetzt den in ihr fließenden Strom in gleicher Richtung durch C2 treiben. Das bedeutet, C2 wird mit umgekehrter Polarität aufgeladen, also mit dem Pluspol unten. Dieser Vorgang wird solange aufrechterhalten, bis der Strom in L1 Null wird. Dann wird S1 wieder in die Mittelstellung gebracht und die gesamte Energie von L1 ist jetzt in C2.
In Summe bedeutet das, die ursprünglich in C1 gespeicherte Energie, hat sich jetzt in zwei gleich große Teile in C1 und C2 aufgeteilt.
Der aus den vorigen Beispielen bekannte, unvermeidliche Energieverlust ist dabei ausgeblieben, da wir mit der Drossel ein schwingendes System eingeführt haben, das wie in dem Artikel über Schwingungen beschrieben, ohne Energieverlust arbeiten kann. Durch die richtige Steuerung des Schalters haben wir es geschafft, die Energie verlustlos auf beide Kondensatoren aufzuteilen.

Für die Rechnung setzen wir voraus: C1=C2=C, U1=U, U2=0 und nach dem Ausgleich U1=U2=U:

Wenn wir das jetzt nachrechnen so sehen wir, dass auf der linken Seite von der Energie her alles passt. Die um SQRT(2) niedrigere Spannung ergibt in beiden Kondensatoren zusammen wieder den ursprünglichen Wert. Beim Ladungsinhalt auf der rechten Seite gibt es jetzt aber eine Differenz. Da die Spannung nicht auf die Hälfte abgesunken ist, so wie das die Ladungsformel fordert, haben wir nach dem Ausgleichsvorgang plötzlich einen Ladungsüberschuss. Die Gesamtladung in beiden Kondensatoren ist um den Faktor SQRT(2) größer, als vor dem Ausgleichsvorgang.
Jetzt stellt man sich die Ladungsträger doch immer als die kleinen Elektronen vor, die so herumschwirren und sich dann auf den Platten der Kondensatoren sammeln. Wenn davon nach dem Ausgleich tatsächlich mehr vorhanden sind als vorher, dann muss man sich die Frage stellen, wo die denn hergekommen sind und vorallem, wo sie denn jetzt fehlen ?

Ich diesem Zusammenhang finde ich es sehr interessant, dass in alten Lehrbüchern über Elektrostatik oft steht, in einem Kondensator würde die Ladung kondensieren, so wie der Name schon sagt. Das könnte man sich dann so vorstellen, dass die Ladungsträger quasi verfestigt werden, wenn sie in einen Kondensator unter hohen Druck (=Spannung) hineingepumpt werden. Sie sind somit nicht mehr unmittelbar verfügbar. Erst wenn man den Druck (=Spannung) wieder ablässt, verflüssigen sich die Ladungen wieder und kommen zu Tage. Bei der Aufteilung auf zwei Kondensatoren ist es dann eben so, dass bei geringerem Druck mehr Ladungen zur Verfügung stehen, weil weniger kondensiert sind. Das ist zwar eine eher esoterische Erklärung, aber eine sehr schlüssige, wie man doch sagen muss.

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